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高師數(shù)學(xué)教學(xué)論滲透數(shù)學(xué)史教學(xué)的探索論文
摘 要：本文就數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等教學(xué)過(guò)程中如何滲透數(shù)學(xué)史問(wèn)題進(jìn)行了研究。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)論；數(shù)學(xué)史；教學(xué)
“數(shù)學(xué)教學(xué)論”是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要必修課。在“數(shù)學(xué)教學(xué)論”教學(xué)過(guò)程中，如何有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究的積極性，使教學(xué)的內(nèi)容、方式和方法貼近基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，歷來(lái)是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。從目前基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)來(lái)看，重視科學(xué)精神和人文精神的塑造已成為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革的方向。數(shù)學(xué)發(fā)展史中積淀的深厚傳統(tǒng)文化和豐富數(shù)學(xué)思想方法是深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的重要方面，“數(shù)學(xué)教學(xué)論”課程要充分反映基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革的現(xiàn)實(shí)，其有效途徑之一是在教學(xué)中加強(qiáng)與數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容的結(jié)合，廣泛吸收國(guó)際國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育結(jié)合（簡(jiǎn)稱(chēng)HPM）研究的最新成果，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)史案例來(lái)充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)思維過(guò)程和方法，提高學(xué)生有效將數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的能力。因此，在“數(shù)學(xué)教學(xué)論”教學(xué)中，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)史料進(jìn)行教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)踐價(jià)值。本文就數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)人文等教學(xué)與數(shù)學(xué)史結(jié)合的理論與實(shí)踐進(jìn)行探討。
一、揭示數(shù)學(xué)概念認(rèn)知過(guò)程與歷史發(fā)展過(guò)程的相似性，使學(xué)生把握概念教學(xué)的心理特征。
概念教學(xué)是“數(shù)學(xué)教學(xué)論”研究的重要內(nèi)容。心理學(xué)研究表明，學(xué)生獲得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于發(fā)展過(guò)程之中，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單而具體，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，作為固著點(diǎn)的已有知識(shí)往往很少或者不具備，這時(shí)只能借助生活經(jīng)驗(yàn)及日常概念接納概念，采取概念形成方式來(lái)學(xué)習(xí)。我們知道，每一數(shù)學(xué)概念在形成發(fā)展過(guò)程中都充滿了直觀的方法和大量辨證的思維，深刻揭示了某一類(lèi)客觀對(duì)象或事物的共同本質(zhì)和特征，是人們從感性到理性認(rèn)識(shí)事物的真實(shí)寫(xiě)照，給學(xué)生用概念形成方式接納概念提供了豐富的資源，概念教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史上概念發(fā)展的案例，既可以順應(yīng)人類(lèi)知識(shí)的形成過(guò)程又能適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。高師學(xué)生在開(kāi)始接觸概念教學(xué)時(shí)，由于對(duì)概念教學(xué)知之甚少，對(duì)概念的來(lái)龍去脈難以理清。因此在“數(shù)學(xué)教學(xué)論”關(guān)于概念教學(xué)研究中首先要讓學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)生原理，即通過(guò)一些概念的歷史形成使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程相似的規(guī)律。譬如說(shuō)，學(xué)習(xí)代數(shù)的主要障礙在于理解和使用數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，而數(shù)學(xué)符號(hào)緩慢的演變過(guò)程又告訴我們，數(shù)學(xué)符號(hào)的形成過(guò)程與人們的認(rèn)知過(guò)程是相似的。因此，代數(shù)課程在有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)環(huán)節(jié)上應(yīng)著重解析數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史發(fā)展過(guò)程。再如，J.M.Keiser在對(duì)六年級(jí)學(xué)生對(duì)角概念的理解與角概念的歷史對(duì)比研究中，得到了“學(xué)生對(duì)角概念的理解與角概念的歷史是相似的”結(jié)論。從歷史上看，古希臘人從兩邊之間的關(guān)系、質(zhì)（形狀和特征）和量（角的大�。┤矫嬷粊�(lái)定義角，但無(wú)論哪一種定義都未能完善地刻畫(huà)這個(gè)概念。J.M. Keiser通過(guò)對(duì)兩個(gè)六年級(jí)班級(jí)幾何（教材內(nèi)容為“形狀與圖案”）課堂的觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)角的理解也分成3種情形：
�。�1）強(qiáng)調(diào)“質(zhì)”的方面：一些學(xué)生認(rèn)為，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，“角”越來(lái)越小；即形狀越“尖”的“角”越小
�。�2）強(qiáng)調(diào)“量”的方面：一些學(xué)生認(rèn)為，邊越長(zhǎng)或者邊所界區(qū)域越大，角越大：
�。�3）強(qiáng)調(diào)“關(guān)系”方面：一些學(xué)生認(rèn)為角是將一條邊（終邊）旋轉(zhuǎn)后與始邊之間的一種“關(guān)系”。
又如F.Cajori根據(jù)負(fù)數(shù)的歷史得出結(jié)論：“在教代數(shù)的時(shí)候，給出負(fù)數(shù)的圖形是十分重要的。如果我們不用線段、溫度等來(lái)說(shuō)明負(fù)數(shù)，那么現(xiàn)在的中學(xué)生就會(huì)與早期的代數(shù)學(xué)家一樣認(rèn)為他們是荒謬的東西”；J.P.Ponte通過(guò)對(duì)函數(shù)歷史的考察獲得啟示：在中學(xué)階段，將函數(shù)概念定義為數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是合適的；在中學(xué)數(shù)學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)具有函數(shù)式的例子，將函數(shù)等同于解析式，不應(yīng)被看作是一個(gè)大錯(cuò)誤！在引入數(shù)學(xué)概念時(shí)以恰當(dāng)?shù)姆绞浇榻B其發(fā)展歷史，有助于中學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)，認(rèn)識(shí)到概念演變修正過(guò)程與個(gè)體認(rèn)知過(guò)程的相似性，對(duì)數(shù)學(xué)概念形成完整、恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)。并在領(lǐng)略數(shù)學(xué)家們?yōu)楦拍畹娜照槌墒焖冻龅钠D辛與努力，以及所經(jīng)受的困難與挫折的過(guò)程中體驗(yàn)人性化的數(shù)學(xué)。還有引入“對(duì)數(shù)”概念時(shí)可介紹J.Napier發(fā)明“對(duì)數(shù)”的動(dòng)人歷史，使對(duì)數(shù)成為富有人性化的、而非枯燥無(wú)味的概念。因此，“數(shù)學(xué)教學(xué)論”關(guān)于概念教學(xué)的研究讓學(xué)生從歷史的角度深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展的心理過(guò)程，將有助于今后在教學(xué)中針對(duì)中學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)設(shè)計(jì)最佳教學(xué)方案，提高概念教學(xué)的質(zhì)量和效益。
二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)命題、公式等數(shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)案例設(shè)計(jì)，學(xué)會(huì)在教學(xué)中通過(guò)展示數(shù)學(xué)知識(shí)的
歷史原創(chuàng)暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程的方法教學(xué)。
從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)理論的研究過(guò)程就是數(shù)學(xué)命題的證明（或證偽）以及以適當(dāng)?shù)姆绞綄⑦@些被證明的命題組織成理論體系。從數(shù)學(xué)活動(dòng)角度來(lái)說(shuō)，這種過(guò)程一般是需要多次反復(fù)的，要經(jīng)歷一個(gè)不斷抽象、層層深人的過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)既要教“結(jié)論”，更要教“過(guò)程”。既要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式化，又要重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)性。而現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中許多內(nèi)容都簡(jiǎn)化了概念和定理的提出過(guò)程，省略了發(fā)展、探索的過(guò)程，而這些概念、定理是如何被發(fā)現(xiàn)的，解決問(wèn)題的方法又是如何構(gòu)想的，對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)有一種說(shuō)不出來(lái)的神秘感和疑惑感．所以在數(shù)學(xué)教學(xué)論的教學(xué)中必須教育學(xué)生在未來(lái)的教學(xué)中應(yīng)精心設(shè)計(jì)、模擬知識(shí)形成的原始思維，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，交給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法． 數(shù)學(xué)歷史上定理的發(fā)現(xiàn)探索過(guò)程可以啟迪學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，將邏輯推理還原為合情推理，將邏輯演繹追溯到歸納演繹；可以激勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)定理，從而極大地滿足學(xué)生發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的成就感，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材中缺少對(duì)數(shù)學(xué)定理形成過(guò)程的闡述與剖析，呈現(xiàn)的是一些完美的結(jié)論和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C過(guò)程，這將直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去主動(dòng)性與創(chuàng)造性。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)論關(guān)于定理、公式、法則等內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)介紹其歷史上的發(fā)現(xiàn)探索歷程及不同的證明方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)在今后的教學(xué)中將數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的歷史過(guò)程變成學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而激發(fā)中學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與創(chuàng)造性。譬如；從古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德使用“平衡法”推導(dǎo)球體積公式與我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之父子得到球體積的過(guò)程；歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題思路；牛頓、萊布尼茲等人發(fā)明微積分的過(guò)程的介紹中，都可以將數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)真理的思維過(guò)程活生生的展現(xiàn)在中學(xué)生面前，改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學(xué)程式。還有古希臘、中國(guó)、印度、歐洲數(shù)學(xué)家等中外數(shù)學(xué)家在勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明中的幾百種證明方法都深刻反映了數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)的火熱過(guò)程，充分暴露了數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過(guò)程。在“數(shù)學(xué)教學(xué)論”的教學(xué)中教給學(xué)生恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例，將案例程式化為實(shí)驗(yàn)、操作、發(fā)現(xiàn)結(jié)論等過(guò)程不僅將現(xiàn)行教材中數(shù)學(xué)結(jié)論的冰冷美麗還原為火熱的思考，特別將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入數(shù)學(xué)課堂，使中學(xué)生學(xué)生通過(guò)“猜想——實(shí)驗(yàn)——再猜想——再實(shí)驗(yàn)——得出正確的結(jié)論——證明”過(guò)程體驗(yàn)，真正完成一個(gè)完整的知識(shí)建構(gòu)過(guò)程。將是數(shù)學(xué)教學(xué)論課程教學(xué)實(shí)現(xiàn)的一個(gè)重要目標(biāo)。
三、引導(dǎo)學(xué)生探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育結(jié)合的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歷史問(wèn)題培養(yǎng)中學(xué)生人文精神的重要作用。
“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”是高中數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)基本理念，新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能有機(jī)地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，選擇介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類(lèi)社會(huì)進(jìn)步、人類(lèi)文明發(fā)展中的作用”。“數(shù)學(xué)教學(xué)論”充分體現(xiàn)新課程的這一理念，對(duì)于高師學(xué)生在未來(lái)的教學(xué)中培養(yǎng)中學(xué)生用文化的視野來(lái)看數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看文化的意識(shí)或觀念有著深刻的意義。
數(shù)學(xué)是幾千年來(lái)全人類(lèi)孜孜探索共同取得的寶貴財(cái)富，是各國(guó)數(shù)學(xué)家相互交流、學(xué)習(xí)、共同探索的智慧結(jié)晶．不同國(guó)度與民族的思維特點(diǎn)、價(jià)值觀念使數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)．因此“數(shù)學(xué)教學(xué)論”在結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)人文教育中應(yīng)遵循時(shí)空多元原則，突破時(shí)空局限來(lái)選擇數(shù)學(xué)史內(nèi)容，力求反映不同時(shí)期、不同國(guó)度、不同民族和不同文化背景的數(shù)學(xué)歷史．譬如，中國(guó)古代數(shù)學(xué)長(zhǎng)于計(jì)算與構(gòu)造，諸如“孫子定理”“百雞問(wèn)題”“盈不足術(shù)”等內(nèi)容具有中華民族傳統(tǒng)文化特色且在國(guó)外有一定影響；古希臘數(shù)學(xué)長(zhǎng)于演繹推理與論證，其公理化思想與方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有極其重要的地位與作用．選材時(shí)應(yīng)打破封閉格局，將中外數(shù)學(xué)歷史納人視野．旨在引導(dǎo)學(xué)生尊重、理解、分享、欣賞多元文化下的數(shù)學(xué)，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力、思考的彈性與開(kāi)放的心靈．
“數(shù)學(xué)教學(xué)論”與數(shù)學(xué)史結(jié)合的教學(xué)中還應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，配合數(shù)學(xué)內(nèi)容與要求所選取的數(shù)學(xué)史內(nèi)容應(yīng)既能被中學(xué)生理解，又能引起他們的興趣．深?yuàn)W難懂的數(shù)學(xué)史料自然達(dá)不到教育的目的，枯燥乏味的數(shù)學(xué)史料也同樣起不到教育的作用．所選史料的內(nèi)容與形式應(yīng)不拘一格、靈活多樣、題材典型、情節(jié)生動(dòng)、發(fā)展曲折、引人人勝．就內(nèi)容而言，可以是數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)思想方法、歷史著名問(wèn)題甚至理論體系的發(fā)展歷史；也可以是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新意識(shí)、獻(xiàn)身精神、奮斗歷程與獨(dú)特個(gè)性；就形式而論，除文字表述史料外，更應(yīng)突出圖形、圖表與圖象史料．如數(shù)學(xué)家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖沖之、華羅庚、陳省身、蘇步青、吳文俊等）的頭像、數(shù)學(xué)圖案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss復(fù)平面、黃金矩形、雪花曲線）、數(shù)學(xué)家的墓志銘（如 Diophantus的年齡問(wèn)題）和墓碑圖案（如Archimedes的圓柱球、J．Bernoulli的對(duì)數(shù)螺線、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七邊形）．旨在幫助中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情，展現(xiàn)科學(xué)與人文精神。在數(shù)學(xué)問(wèn)題配置與求解中可選擇歷史上不同時(shí)期、不同文化的一些著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，這此問(wèn)題及其求解提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)家為之奮斗的曲折歷程與苦樂(lè)體驗(yàn)，展現(xiàn)了廣闊而生動(dòng)的人文背景。譬如，可選擇幾何《原本》、《九章算術(shù)》等經(jīng)典名著中的問(wèn)題；介紹我國(guó)趙爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根這一問(wèn)題上的成就；在求解冪和問(wèn)題時(shí)可介紹C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形數(shù)方法和楊輝的“垛積術(shù)”與“補(bǔ)差術(shù)”方法.在問(wèn)題求解中應(yīng)側(cè)重對(duì)歷史上所用各種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行比較分析，使學(xué)生了解不同文化背景中的數(shù)學(xué)思考方式，啟發(fā)其數(shù)學(xué)思維，提升其數(shù)學(xué)欣賞能力，在社會(huì)歷史文化與數(shù)學(xué)思維的雙重熏陶下，獲得數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的文化意義，在數(shù)學(xué)教育中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想。
四、結(jié)語(yǔ)
數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的有效性歸根到底要經(jīng)過(guò)課堂實(shí)踐。高師“數(shù)學(xué)教學(xué)論”滲透數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)一方面可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)論課堂內(nèi)容和教學(xué)方式、方法的改革，另一方面可以增強(qiáng)高師學(xué)生進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的能力，從而提高學(xué)生的從師素質(zhì)。
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