定積分的應(yīng)用是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，針對(duì)這部分重要內(nèi)容進(jìn)行一下深度解析，萬(wàn)學(xué)海文在此幫助考生分析一下定積分應(yīng)用的命題規(guī)律。

　　定積分的應(yīng)用主要是以微元法為基礎(chǔ)，而微元法又是以定積分的定義為基礎(chǔ)。所以，分割、近似、求和、取極限是計(jì)算一些幾何量和物理量的指導(dǎo)思想。

　　定積分及其應(yīng)用這部分內(nèi)容在歷年真題的考察中形式多樣，可以以客觀題的形式出現(xiàn)，也可以在解答題中出現(xiàn)，并且經(jīng)常與其它知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)考察，比如與極限、導(dǎo)數(shù)、微分中值定理、極值等知識(shí)點(diǎn)綜合在一起出題。

　　在這部分需要重點(diǎn)掌握用微元法計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等。。而對(duì)于數(shù)三只要求會(huì)計(jì)算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積就可以了。其中求旋轉(zhuǎn)體的體積以及微積分的幾何應(yīng)用與最值問(wèn)題相結(jié)合構(gòu)成的應(yīng)用題是重點(diǎn)�？碱}型，廣大考生應(yīng)該予以充分的重視。

　　對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對(duì)微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來(lái)獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一;但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過(guò)足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來(lái)歸納微元法的三種常見(jiàn)類型：

　　1.薄桶型。

　　本例求的是由平面圖型a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所示)，則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積

,其中 是薄桶的高， 是薄桶展開(kāi)變成薄板后的底面積， 就是薄板的厚度;二者相乘即得體積。對(duì) 積分可得 。在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于：a。雖然薄桶的高是個(gè)變化量，但卻用 來(lái)表示; b。用 表示薄桶的厚度; c。核心式 。

　　2.薄餅型。

本例求的是由拋物線 及 繞 軸旋轉(zhuǎn)形成的高 的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式 。其中 是薄餅的底面積，薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,∵ ，∴ ;同理薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ，二者相減即得薄餅底面積。核心式中的 是薄餅的高。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來(lái)求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。

　　3.薄球型。

　　本例求球體質(zhì)量，半徑為

，密度 ， 其中 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 厚度為 ，對(duì)于這個(gè)薄球的體積有 ，其中 是薄球表面積， 是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開(kāi)、攤平得到一個(gè)薄面以后再用底面積乘高得到的。由于 很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為 ，則薄球質(zhì)量 ，積分可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面積 乘以薄球厚度 得到核心式”、“將 內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。

　　通過(guò)以上三個(gè)例子談了一下了對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過(guò)自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲幸恍┻壿嫳砻嫔喜⒉环�合常�?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。